9900101 Семисектор окружности. Н.П.Егоров, А.Ю. Кушелев. (н/п)
Попытайтесь разделить окружность на семь равных углов. Для того, чтобы решить эту задачу Вы наверняка воспользуетесь каким-то измерительным инструментом, например, транспортиром. Для того, чтобы решить эту задачу Вы, вероятно разделите 360 градусов на семь частей и полученную величину угла отложите при помощи транспортира.
Учитывая, что транспортир позволяет откладывать углы с погрешностью, которая связана с конечной величиной минимального интервала, называемого делением, сделать это точно не удастся.
Со времен Евклида известны способы точного деления окружности на две, три, четыре, пять и шесть частей при помощи циркуля и линейки без делений. Число частей можно, также, удвоить. Точное деление окружности и угла на произвольное число равных частей без измерительных средств считается невозможным. Однако, устройство, которое представлено на Рис. 1. позволяет это сделать безупречно.
"Семисектор окружности" имеет ось симметрии седьмого порядка, т.е. делит окружность на семь равных углов.
Вспомните знаменитую задачу о трисекции угла. Эта задача не решается в плоскости, однако, если выйти из плоскости в пространство, то эта задача решается, да еще в общем виде!
На Рис. 2. показано устройство, которое делит угол на произвольное число равных углов. Число, на которое нужно разделить угол может быть любым, даже дробно-рациональным! От этого числа зависит число однотипных звеньев в этом устройстве. Способ, позволяющий разделить угол на равные части основан на свойствах цепочки тетраэдров, соединенных ребрами в змейку (Рис. 3.)
Такая змейка проявляет удивительные свойства. Первое свойство похоже на способность игрушки-змейки из звеньев оставаться в одной плоскости. Это свойство используется для имитации движений настоящей змеи, которую держат за хвост, а тело извивается в горизонтальной плоскости.
Другое свойство цепочки тетраэдров заключается в следующем. Если вершину каждого тетраэдра, которая не участвует в шарнирных соединениях (такая свободная вершина только одна у каждого тетраэдра) расположить посередине между такими же вершинами смежных тетраэдров, то змейка разделит угол, образованный ее крайними звеньями на столько равных углов, сколько звеньев в ней содержится (Рис.2.). Эта задача решается стандартным способом, как в устройстве циркуля. В результате получается устройство, изображенное на Рис. 1., позволяющее делить угол на равные части.
Это устройство состоит из 2N тетраэдров, соединенных в змейку (N - число, на которое нужно разделить угол, в нашем случае N = 7). Свободные вершины соединяются шарнирно со стержнями, которые соединяются шарнирно с муфтами, перемещающимися по продолжению ребер соседних тетраэдров (проекции этих ребер образуют 2N искомых секущих угла).
Приведенный способ деления угла на произвольное число равных частей может быть предложен для факультативных занятий по математике в школе. Кроме того можно предложить создание инструмента, который облегчит работу, связанную с делением углов на равные части, т.к. по сравнению с традиционными инструментами он не требует вычислений и построений вычисленных углов. Известными преимуществами аналоговых устройств по сравнению с цифровыми являются надежность, быстродействие и простота.